ТУ – София
ИПФ Сливен
Тема по
Числени методи и моделиране на вериги и полета II
Преподавател : доц. д-р А. Червенков
Изработил : инж. М. Никифоров ф.н. 04024006
Дата:
Оценка:
Подпис:
Определяне векторите на електромагнитното поле по МКЕ. Определяне на индуктивности и капацитети.
I. Теоретична част
1. Определяне векторите на електромагнитното поле по МКЕ.
Задачите от електростатиката се описват с уравнението на Поасон за скаларния електрически потенциал V. Като зависимостта между потенциала и интензитета на полето е E=-gradV.
Уравнението на плоскопаралелно електростатично поле записано в декартова координатна система има следния вид:
ε е електрическата проницаемост и ρ е обемната плътност на заряда. Те са константни за всеки елемент от модела.
При решаването му по метода на крайните елементи се използва минимизация на съответстващия енергиен функционал:
Той е равен на сумарната електрическа енергия запасена в полето за единица дължина по направление z.
Плоско паралелно електрическо поле в нехомогенна проводяща среда в декартова координатна система се описва с:
Тук σ е специфичната електрическа проводимост на средата. Съответстващия енергиен функционал е:
Числено е равен на полoвината от електрическата мощност, отделяна в областта, за единица дължина по z.
При осесиметрични задачи, които се описват с скаларен потенциал, функционала е подобен. При тях се използва цилиндрична координатна система с пространствени координати r и z и под интеграла във функционалите се добавя множител 2πr с което енергията се изчислява за цялата осесиметрична област.
От получения електрически скаларен потенциал се получава интензитета на полето и електрическата индукция с следните зависимости:
| Ex = -dU/dx , Ey = -dU/dy | – за декартова координатна система |
| Ez = -dU/dz , Er = -dU/dr | – за осесиметрична задача |
Вектора на електрическата индукция
Магнитостатичните задачи се описват с уравнението на Поасон за векторния магнитен потенциал . Като зависимостта между потенциала и магнитната индукция на полето е .
Плоско паралелно магнитостатично поле в нехомогенна среда в декартова координатна система се описва с:
μ е магнитната проницаемост на средата, а А и J са z компонентите на магнитния вектор-потенциал и съответно токовата плътност.
Описващият енергиен функционал е:
Числено е равен на магнитната енергия запасена в полето на изследваната област за единица дължина в направление z.
Осесиметрично магнитостатично поле в нехомогенна среда в цилиндрична координатна система се описва с:
А и J са φ-компоненти на магнитния вектор-потенциал и токовата плътност.
Полага се r.A=ψ при което уравнението става подобно на уравнението в x-y координати:
За енергийния функционал се получава:
Равен е на магнитната енергия запасена в областта на изследваното поле.
Магнитостатични задачи извън области с ток могат да се решават и с описваща величина скаларен магнитен потенциал Vμ. Зависимостта на Vμ и H е :
H=-grad Vμ
В този случай се решава уравнението на Лаплас. В декартова координатна система то изглежда така:
Векторите B и H се получават със следните уравнения:
| Bx = dA/dy , By = -dA/dx | – за декартова координатна система |
| Bz = (1/r)·(d(rA)/dr) , Br = -dA/dz | – за осесиметрична задача |
Задачите се решават при задаване на гранични условия, които могат да бъдат на Дирилхе или Нойман. Като хомогенни гранични условия на Нойман се поставят автоматично по границите в които не са въведени гранични условия.
2. Определяне на индуктивности и капацитети.
Индуктивностите зависят от абсолютната магнитна проницаемост както от околната среда, така и на материала, от който са направени токовите контури. Те могат да бъдат определени с помощта на магнитната енергия.
За енергията на магнитно поле при линейна зависимост на B и H знаем че е
При нелинейна зависимост се получава:
Израза е приложим когато сме изчислили полето в целия обем в които интегрираме.
Когато знаем или сме намерили полето само в обема на токовият контур (където J е различно от нула) по удачна за намиране на L е следващата зависимост.
Тук vn е обемът в който токовата плътност е различна от нула. Като се използва решението на векторното уравнение на Поасон
За L се получава следния израз:
В случая r е разстоянието между dv и dv`.
По подобен начин може да се определи взаимната индуктивност на два токови контура с обеми v1 и v2.
Ако приемем n2 ∗ i2 = J2 ∗ a2 и заместим J2 в горната формула получаваме:
Друг начин за изчисление на L е като се изключат останалите токове и се остави само този в измерваната намотка. След симулация индуктивността се намира по формулата:
L = n·Ψ / I,
Тук n е броя навивки, I и Ψ е тока и потокосцеплението за една навивка.
Взаимната индуктивност между две намотки може да бъде намерена по подобен начин. Разликата е в това че токът се пуска в едната намотка а Ψ да се изчисли за другата. Получава се следният израз:
L12 = n2·Ψ2 / I1,
Капацитетът на един кондензатор може да се определи чрез следните зависимости:
C=q/U
В първият случай се използва зарядът и напрежението, а във втория енергията на полето и също напрежението. Зарядът се изчислява с помощта на:
Където n е нормален вектор спрямо граничната повърхност. За изчисляване на заряда необходим за намиране на C и много други параметри в QuickField просто предварително се начертава контура по който ще се интегрира. Ако знаем заряда на даден електрод, просто се въвежда в дадена точка от него стойността, като заряда се разпределя автоматично по цялата проводяща повърхност.
Във вторият случай енергията на полето за даден обем се изчислява с познатата формула:
II. Примери
Задача за определяне на капацитет с помощта на МКЕ.
Целта на задачата е определянето на капацитета на кондензатор с квадратно сечение. Вътрешният квадрат е със страни с размер 2 см., а външния с 4 см. Потенциалите на електродите са съответно 0V и 100V.
За анализ на електростатичното полето ще използвам програмният продукт QuickField. Поради симетрията, за анализа ще разгледам само една четвърт от кондензаторът. След начертаването на контурите, на електродите се задават за гранични условия техните потенциали, а за границите свързващи електродите в краищата им се генерират автоматично граничните условия на Нойман dV/dn=0. За абсолютна диелектрична проницаемост на диелектрика между електродите се задава стойност единица с цел сравняване резултатите получени от симулацията с тези от учебника “Решаване на задачи по електротехника с MATLAB”. При генериране на мрежата се получава следната фигура.
След решаване разпределението на полето с solve за интензитета и еквипотенциалните линии се получава следната фигура.
Програмата QuickField ни дава възможността за пресмятане на капацитета на кондензатора като тя автоматично пресмята енергията на полето на базата на получените вектори в него. В случая W=12800 J. Необходимо е задаване на напрежението което в случая е 100V и за капацитета (по точно C/ε) получаваме 2,56. Тази стойност е за ¼ от реалния кондензатор. Получаваме стойност 10,24 различаваща се от аналитично изчислената 10,2341 с 0,0059 което е резултат с задоволителна точност.